摘要 孔凡哲教授认为：在中小学数学中，几何直观具体表现形式有四种，即实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观。在小学数学中，常见常用的图形直观有线段图、方形图、模型
孔凡哲教授认为：“在中小学数学中，几何直观具体表现形式有四种，即实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观。在小学数学中，常见常用的图形直观有线段图、方形图、模型图、集合图、关系图、示意图、替代图等。”[1]图形直观对学生学习数学、分析和解决问题、发展能力等发挥着十分重要的作用。那么，如何正确发挥图形直观在小学数学教学中的作用呢?对此，笔者谈一孔之见，求教同仁。
一、“用图”导学，为学习数学提供帮助
数学知识的抽象性、复杂性和特殊性，是造成一些学生难理解、难接受、难内化的原因之一。利用图形直观帮助学生学习数学，可以把某些知识化难为易、化抽象为具体，使学生恍然大悟、豁然贯通，更能让学生深切体会到图形直观在数学学习中的重要作用，从而启迪学生自觉地借助直观的几何图形学习数学、看待问题。
1.在“有形”中理解数学
“数”和“形”是数学中最基本的两个概念，很多数学内容、概念既具有“数的特征”又具有“形的特征”。只有将“数”“形”密切结合起来(即借助直观的几何图形引导学生学习数学知识)，才能更好地帮助学生掌握数学内容、概念之本质。例如，人教版小学数学四年级下册“除法的性质”中的例题：王老师买了 5 副羽毛球拍，花了 330 元。每支羽毛球拍多少钱?教材呈现了两种解法：①330÷5÷2，学生不难理解其意，先算每副羽毛球拍多少钱，再算每支球拍多少钱;②330÷(5×2)，学生亦不难理解，先算一共有多少支羽毛球拍，再算每支球拍多少钱。但是，教材回避了第三种解法：330÷2÷5。的确，330÷2 要联系实际作出解释比较困难，但如果有学生提出这种解法，教师该如何帮助学生理解算式的意义呢?解决这一问题，就需要借助图形直观。教师可先画图 1，引导学生理解 330÷5 表示每副羽毛球拍多少钱;再画图 2 与之比较，学生则能直观地看出 330÷2 表示：5 副羽毛球拍各 1 支花了多少钱，即 5 支球拍多少钱。借助图形直观，学生就不难理解第三种解法的意义。
再看“平面几何图形的面积”，就建立“长方形的面积”的表象而言，学生不难直观地从方格图中看出：长方形的面积是单位长度与单位宽度之积，即 S=ab。同样的道理，学生也可以从“剪拼”中得知：三角形的面积是等底等高平行四边形面积的一半，即 S=ah÷2。但是，怎样帮助学生建立“圆的面积”的概念表象?教师可以以圆的半径为边长画一个正方形(图 3)，让学生直观地看出：r2 与圆面积的大小关系;再画图 4，让学生比较 2r2 与圆面积的大小关系;最后画图 5，让学生比较“4r2 与圆面积的大小关系。从这种直观中有逻辑、逻辑中有直观的比较中，学生不难理解、想象 2r2 < 圆的面积 <4r2 ，为进一步把圆剪拼成近似的长方形、平行四边形、三角形等，推导圆的面积公式 S=πr 2 架设脚手架。
图形直观在数学教学中发挥着重要作用，但是并非所有的数学知识都可以用直观的图像呈现其 “全貌”。基于此，教师要善于用“有形”的语言弥补 “无形”的图像之局限。如学习“线段、射线、直线”时，教师可以在黑板上画出一定长度的线段。然而，无限长的直线、射线的图像却受制于有限的黑板平面，无法做到“无限”延长。对此，教师可以用形象的语言加以描述，以弥补“局部”图像之不足：“把线段的一端无限延长，线段的一端会超出我们的黑板平面，会跑出我们的教室，会穿过楼房、大山……我们找不到它的尽头，看不到它的端点，这样延长，线段就变成了射线。同样的道理，把线段的两端无限延长，线段的两端也都会超出黑板、跑出教室、穿过楼房……我们也找不 到它们的尽 头，这样延长 ，线 段 就 变 成 了直线”[2]。
有形或无形的几何图形存在于人们的思想意识之中，在数学教学中，也只有教师适时、有度地呈现其“形”，才能更好地帮助学生学习数学，发展其几何直观意识和能力。
二、“画图”分析，为培养能力提供支持
画图能力是几何直观能力之一。对此，《义务教育数学课程标准(2011 年版)》认为：一方面，要在教学中帮助学生逐步养成画图习惯;另一方面，要让学生掌握、运用一些基本图形解决问题。但在教学实践中学画图，运用图形描述问题、分析问题和解决问题的情况并不直观。学生画图、运用图形的自觉性与习惯亟待培养。如何培养呢?
1.着眼于单元学习，指导学生“画图” 现行小学数学教材，均以单元为单位编排数学课程内容。在各个单元的学习中，教师应有的放矢地培养学生的画图技能和运用图形的习惯。如长(正)方体图形的“拼切”问题(人教版小学数学五年级下册)：①三个棱长 3 厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少平方厘米?②三个完全一样的正方体拼成一个长方体后表面积是 126 平方厘米，每个正方体的表面积是多少平方厘米?有的学生简单地认为这是几个立体图形的加减，这种方向性的错误，导致作业时频频出现错误。第①题，常见的错误解法是“3×3×6×3”。此题，一旦教师以直观图形(图 6)的形式呈现出来，学生的解题错误率便明显下降。同样，解决第②题，教师指导学生画图(图 7)分析，能在一定程度上避免 126÷3 这样的错误解法出现。本单元指导学生运用图形分析问题、解决问题，将直接影响后续学习和解决有关“圆柱与圆锥”(人教版小学数学六年级下册)的问题。再如，解决“分数乘、除法”问题时，教师可指导学生根据问题情境，找准单位“1”，画线段图分析“量”“率”对应关系，寻找解决问题策略。那么，后续遇到解决“百分数乘、除法”问题时，就会自然而然地唤醒学生借助线段图帮助分析问题、解决问题的经验与意识。因此，小学数学学习，教师应根据教材特点与学生实际，有意识地指导学生掌握一些基本的画图技能，使之形成运用图形的习惯，以强化其几何直观意识与能力，为其学好数学提供帮助，为其解决数学问题提供支持。
2.着手于平时作业，诱导学生“画图” 人的某种意识或习惯并非与生俱来，学生形成画图、运用图形分析问题与解决问题的意识亦如此。基于这一认识，教师应有意识地口头或书面提醒学生自觉地“画图”分析问题，使之养成习惯。如以下这两道题：①一个长 35 米，宽 24 米的长方形果园。如果每棵果树占地 3 平方米，这个果园一共可以栽多少棵果树?②用一张长 9 厘米，宽 6 厘米的长方形纸剪圆片，圆片的半径是 1.5 厘米，可以剪多少个?此二题，“形似而神不似”。一些学生解决第②题的思路，常常受到第①题的影响，误以为本题解决的是“长方形面积中含有几个圆面积”，因此出现错误的做法：(9×6)÷(3.14×1.52 )≈8(个);如果教师提示并引导学生画图帮助分析，则不难得知解决这个问题要看 “长方形的长含有几个圆的直径，宽含有几个圆的直径”，所剪的圆片数量为“[(9÷(1.5×2)]×[6÷(1.5× 2)]=6(个)”。诸如此类，还有“圆周长的一半”与“半圆的周长”、“增加了”与“增加到”、“减少了”与“减少到”等似是而非的概念问题，教师要有足够的预见性，有意识地提醒学生运用图形，使之深切体会到图形直观的作用与价值。
图形直观是学生学习数学、解决问题的“拐杖”。在数学教学中只有教师根据教材特点与学生实际有效地示范导学，才能为学生更好地学习数学提供保障，只有教师正确引导学生自觉地运用，才能为培养学生的几何直观意识与能力提供可能。
参考文献
[1] 李玲玲.试谈“图形直观”的表现形式及教学策略 [J].教学与管理，2013(23).
[2] 徐恒祥.“擦掉端点”不妥——由“线段、射线、直线之间的关系”案例引发的随想[J].中小学数学：小学版，2015(1-2).
《正确发挥图形直观在数学教学中的作用》来源：《教学与管理》，作者：黄亚丽， 徐恒祥。
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