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等腰三角形“手拉手”模型的拓展

来源:华盛论文咨询网 发表时间:2019-08-17 09:11 隶属于:教育论文 浏览次数:

摘要 在初中几何中,模型教学的几何直观性有着很强的指导意义,同时,模型教学也是提升数学学科核心素养的一个重要途径. 本文将对传统手拉手模型作进一步探究. 一、模型及性质模型

  在初中几何中,模型教学的几何直观性有着很强的指导意义,同时,模型教学也是提升数学学科核心素养的一个重要途径. 本文将对传统“手拉手”模型作进一步探究.

等腰三角形“手拉手”模型的拓展

  一、模型及性质模型

  如图 1,两个等腰三角形 ABD 和 BCE,AB = BD,BE = BC 且 ∠ABD = ∠CBE = ∠α,AE 与 CD 相交于于点 F,连接 BF. 则有: ( 1) ABE ≌ DBC; ( 2) ∠AFD = ∠α; ( 3) BF 平分 ∠AFC.

  注 两个相似等腰三角形共顶点旋转,我们称之为等腰三角形的“手拉手”,可得上述三个最基本的结论.

  二、模型的拓展例

  1 如图 2,ACB 和 DAE 均为等边三角形,EC 与 BD 相交于点 F,连结 AF.求证: CF = AF + BF; DF = AF + EF.

  解析 ACB 和 DAE 均为等边三角形. 由手拉手基本结论 ( 1) ,可知 CAE ≌ BAD,易得 ∠ECA = ∠ABD.在 CF 上截取 CG,使 CG = BF. 只需要证明 GF = AF 即可.由于 BCA 为等边三角形,可得 AC = AB,于是可证 ACG ≌ ABF.得 AG = AF,∠CAG = ∠FAB. ∵ ∠CAG + ∠GAB = 60°

  ∴ ∠FAB + ∠GAB = 60°,即 ∠GAF = 60°, ∴ AGF 为等边三角形,故 FG = AF. ∴ CF = CG + FG = BF + AF,同理可得 DF = AF + EF.例 2 如图 3,ACB 和 DAE 均为等腰直角三角形,∠CAB = ∠DAE = 90°,EC 与 BD 相交于点 F,连结 AF.求证: CF = 槡2 AF + BF; DF = 槡2 AF + EF.

  解析 ACB 和 DAE 均为等腰直角三角形. 由手拉手基本结论( 1) ,可知 CAE ≌ DAB,易得 ∠ECA = ∠ABD.在 CF 上截取 CG,使 CG = BF. 只需要证明 GF = 槡2 AF 即可.由于 BCA 为等腰直角三角形,可得 AC = AB,于是可证 ACG ≌ ABF.得 AG = AF,∠CAG = ∠FAB. ∵ ∠CAG + ∠GAB = 90°, ∴ ∠FAB + ∠GAB = 90°,即 ∠GAF = 90°, ∴ AGF 为等腰直角三角形, ∴ FG = 槡2 AF. ∴ CF = CG + FG = BF + 槡2 AF,同理可得 DF = 槡2 AF + EF.

  例 3 如图 4,ACB 和 DAE 均为等腰三角形,∠CAB = ∠DAE = ∠α,EC 与 BD 相交于点 F,连结 AF.求证: CF = 2AFsin α 2 + BF; DF = 2AFsin α 2 + EF.解析 ACB 和 DAE 均为等腰三角形. 由手拉手基本结论( 1) ,可知 CAE ≌ DAB,易得 ∠ECA = ∠ABD.

  在 CF 上截取 CG,使 CG = BF. 只需要证明 GF = 2AFsin α 2 即可.作 AH⊥ CE 于点 H,由于 BCA为等腰三角形,可得 AC = AB,于是可证 ACG ≌ ABF, ∴ AG = AF,∠CAG = ∠FAB. ∵ ∠CAG + ∠GAB = ∠α, ∴ ∠FAB + ∠GAB = ∠α,即 ∠GAF = ∠α, ∴ AGF 为等腰三角形且顶角为 ∠α.在 RtAGH 中,解得 GH = AGsin α 2 = AFsin α 2 ,则 GF = 2AFsin α 2 , ∴ CF = 2AFsin α 2 + BF.同理可得 DF = 2AFsin α 2 + EF

  综合上述分析,我们在原有基本模型的基础上进行了拓展发散,从一般到特殊,展示了探究知识生长的过程,“手拉手”模型的基本结论便是拓展的生长源,然后通过截长法,巧妙的实现线段之间的转化. 当然也可以采用补短法实现转化,还可以通过再构造等腰三角形达成目标. 无论哪一种解题策略,都是在基本模型 结 论 的 基 础 上 的 一 种 探 究 和 延伸. 因此,在数学教学中,我们要更好地重视模型的指导意义,充分展示几何元素之间位置和数量的关系,从而提高我们的数学思维能力.

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