摘要 摘要 中学数学学习需要思维的发散，但在学习中许多学生的数学思维是发而不散，导致数学解题的频繁失误。教师在日常教学中应当多用变式来破除定式，表减思维惯性。本文通过对一
摘要 中学数学学习需要思维的发散，但在学习中许多学生的数学思维是发而不散，导致数学解题的频繁失误。教师在日常教学中应当多用“变式”来破除“定式"，表减“思维惯性”。本文通过对一道中考试题的“典型失误”的统计和分析，提出了突破学生数学思维发散障碍的教学和命题建议。
关键词 思维惯性发散性思维图形表达具体化
一、题目呈现
(连云港 2015 第 24 题)已知如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=姨3 x-2姨3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，P 是直线 AB 上一动点，⊙P 的半径为 1。(1)判断原点 O 与⊙P的位置关系，并说明理由;(2)当⊙P 过点 B 时，求⊙P 被 y 轴所截得的劣弧的长;(3)当⊙P 与 x 轴相切时，求出切点的坐标。
二、一个“典型失误”及其中隐含的问题
本题第(2)小题和第(3)小题都需要分两种情形解答。其中，第(2)小题需要分别考虑 P 点在 y 轴左侧与右侧的情形;第(3)小题需要分别考虑 P 点在 x 轴上方和下方的情形。然而，阅卷过程中发现学生在本题最为典型的解题失误就是在这两小题中只针对一种情形作答。
三、原因分析
统计结果表明，在第(2)小题，学生的认知局限于“P 在 y 轴右侧”这一情形。一个重要的原因是这一情形相对于另外一种情形(“P 在 y 轴左侧”情形)更契合学生的一个“思维惯性”。这个“思维惯性”就是我们对“P 是直线 AB 上一动点”这一条件作内部具象化表征时，往往习惯于将点 P 置于 A、B 两点中间。更为重要的原因是，试题在条件陈述之外提供了“图 1”，而从图 1 中可以发现，其中⊙P 的位置(点 P 位于 A、B 两点中间)恰好又契合了上述“思维惯性”，这就有意无意地将“思维惯性”作了一次强化。观察图 1 还发现，其中⊙P 的位置非常接近于第(2)小题“⊙P 过点 B”这一题设条件。在学生对第(2)小题的题设条件进行感知时，图 1 几乎可以直接成为问题的具体化表征。这就使得学生在问题感知之后，完全跳过了对“题设条件作发散性思考”这一步，直接进入到具体问题的分析阶段。也就是说，学生在第(2)小题中“一边倒”式地定式于“P 在 y 轴右侧”这一情形，有主观上的“思维惯性”作用，更有试题表述所带来的惯性强化与问题表征的“导向”作用。
四、启示
1.在问题解决的过程中保持批判意识，有助于突破思维囿限通过对“典型失误”的分析，笔者认为，对一个数学命题的发散性思维主要发生在命题感知之后的具体化过程中。通常情况下，一个数学命题需要经历“命题感知(理解题意)——具体化(构建抽象命题的具体对象)——具体问题解决——反思与总结(基于具体对象的概括，回到抽象)”的过程。在这个过程中，“具体化”就是指将抽象的试题陈述对应为具体的图形表达或符号表达。也就是说，从抽象对象到具体对象转换的时候，最需要发散性思维的介入。一旦具体化过程结束，进入到具体问题解决阶段，个体的思维就会集中于具体情形的分析，从而很难跳出具体情形的思维囿限。能否突破这个囿限，很大程上取决于个体思维的批判性。由此带来的启示就是在问题解决的全过程中，不断提醒自己：我是否忽略了什么?当前的情形是否具有一般性?是否还存在着另一种情形或另一个方面?…… 这种批判意识的保持，能促进我们及时回顾与反思，进而使“丢失的一般性”有可能被意识到。
2.日常教学中应当多用“变式”来破除“定式”，衰减“思维惯性” 所谓“思维惯性”，也就是认知心理学上所说的 “思维定势”和“功能固着”。它产生的一个重要的原因就是过往的学习中知识的非本质属性被泛化。比如，在“三角形”这一概念的学习中，我们总是习惯于画出一个锐角三角形，这就使“锐角”这一非本质属性被泛化了，从而学生对“三角形”这一概念的内部和外部表征都定式于“锐角三角形”。在上述试题中，学生对“P 是直线 AB 上一点”这个题设条件产生的“思维惯性”，原因就在于在日常教学中，也是习惯于将“P 置于 A、B 两点之间”的。也就是说， “学”的惯性与“教”的惯性是“一脉相承”的。要想学生“学”得发散，教师首先要做到“教”得发散。因此，教师在日常教学中应当特别注意运用“变式”。所谓 “变式”就是指保持对象的本质属性不变，而将其非本质属性作尽可能的变化。这样既能防止非本质属性的泛化，又有助于本质属性的凸显。更为重要的是，变式的过程其实也就是发散思维的过程，它能有效地通过教师“发散性地教”促进学生思维的广阔性，使学生习惯于全面地、多角度地看待问题。
3.命题时应注意图形表述的“具体化”特点学生在上述试题的第(2)和第(3)小题中表现出明显的发散性思维差异，一个重要的原因是“图 1”的“思维导向”作用。可以肯定的是，命题者在试题文字表述之外提供“图 1”的初衷，是为了让学生更好地理解题意。但是，命题者在提供图 1 的同时却没有意识到图 1 又在无意中“框”住了学生的发散性思维。我们对照试题的文字表述与图形表述会发现，文字表达是通过文字或符号的指代意义来间接地表达数学关系结构，这一特点使它具有抽象的表达效果，而图形表达是对关系结构的直接描述，它必然是具体的。因此，我们在命题的过程中如果要用图形来表达题意的话，就要特别注意图形表达的“具体化”特点。如果一个试题打算将学生的思维发散性作为一个考查指向的话，那么，试题在表述中就要特别注意对“配图”的使用，防止其带来的不必要的思维干扰。事实上，如果命题者有意将“思维的发散性”作为能力考查的一个指向，上述题目完全可以不配图，将“具体化”的过程完全留给学生。
《初中生数学思维发散障碍的呈现与突破》来源：《教学与管理》，作者：张 诚。
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