摘要 摘 要：中国传统数学源远流长，筹算开方术是其中重要的成就之一。不过，以往学术界较少关注儒家的算法传统。在两汉经学争论的背景之下，汉儒包咸、马融等对《论语》道千乘之国
摘 要：中国传统数学源远流长，筹算开方术是其中重要的成就之一。不过，以往学术界较少关注儒家的算法传统。在两汉经学争论的背景之下，汉儒包咸、马融等对《论语》“道千乘之国”的注解隐含了一个数学问题，且未述算法。梁代皇侃《论语义疏》以切割图形进行开方，与筹算方法不同，是为儒家开方算法之兴起。之后，唐代孔颖达、贾公彦，宋代邢昺、朱熹，元代许谦，清代刘宝楠等学者继续在儒学研究中探讨发展儒家开方算法。北周甄鸾《五经筭术》以筹算开方术解“道千乘之国”，唐代李淳风等注释《五经筭术》并立于学官，试图统一算法，未获成功。清中叶戴震整理古算书，给予《五经筭术》以正面评价。晚清以降，数学的专业性与独立性获得了前所未有的认可。因之，算家对“道千乘之国”的解释逐渐被接受，而儒家的算法传统则逐渐被遗忘。
关键词：《论语》 “道千乘之国” 开方算法 《五经筭术》 儒学
中国传统数学源远流长，取了许多世界级成就。由《九章筭术》筹算开方术发展而来的求高次方程数值解方法即是其中之一。学术界对之的探讨已经取了丰硕的成果。[1]，[2] 近年来，笔者的研究揭示：唐代儒家在注疏经典中运用了与传统算学不尽相同的数学知识，尤其贾公彦(7世纪)、孔颖达(574-648)等利用图形进行开方，与筹算开方术差别很大;[3]-[7] 宋代邢昺(932-1010)、朱熹(1130-1200)则发展了儒家开方算法。[8] 陈志辉的研究说明7世纪唐代儒家的计算文化传统延续至18世纪清中叶。[9] 这些研究呈现了中国古代数学的多样性，启示我们重新思考儒家的算法传统及其与传统数学的关系。《论语》是儒家的重要经典之一，历代学者前赴后继对之进行了持续不断的注疏。笔者发现：由汉儒解经的争论中隐含了一个数学问题且未述算法，六朝儒家对《论语》“道千乘之国”的注疏中发展出了儒家的开方算法，与传统数学不同。之后，算家与儒家的开方算法互动关联却又独立演进，终至晚清之大变化。本文即以此视角梳理儒家开方术的历史演进，及其与传统数学的互动关系，以期推进学界对中国数学史之研究。
一、数学隐题：汉儒对《论语》“道千乘之国”之注解
《论语》卷一：“子曰：‘道①千乘之国，敬事而信，节用而爱人，使民以时。’”[10] 一般认为此段孔子是讲治理国家(即“千乘之国”)的办法。作为周代的分封制度的“千乘之国”，原意指拥有千辆战车的国家。汉朝建立之后，随着国家制度的改变，“千乘之国”便逐渐失去了其理解的现实语境。于是，汉儒解经须将之转化为实际的土地丈量单位。 “亩”、“田”、“里”是夏、商、周三代的土地面积单位，汉代沿袭之。[11] 东汉包咸(前7-65 年)注“道千乘之国”云：“道，治也。千乘之国者，百里之国也。古者井田，方里为井。十井为乘，百里之国适千乘也。”([10]，p.2457)此段文字，梁代皇侃《论语义疏》略有不同，云：苞氏曰：“导，治也。千乘之国者，百里之国也。古者井田，方里为井，井十为乘。百里之国者，适千乘也。”[12] 包咸，《后汉书》卷79儒林列传有传，为《论语》章句，今已失传。魏代何晏《论语集解》保留了此段注解。包氏以周代井田制度解之，认为一井为一里之方，相当于1(平方)里;十井为十个一里之方，相当于10×1(平方)里，为一乘;百里之国，即100里(之平方)=10000×1(平方)里，相当于千乘。由此，千乘之国方百里。稍后的马融(79-166)亦注“道千乘之国” 云：“道谓为之政教。司马法：六尺为步，步百为亩，亩百为夫，夫三为屋，屋三为井，井十为通，通十为成，成出革车一乘。然则千乘之赋，其地千成，居地方三百一十六里畸。”([10]，p.2457)此段文字，梁代皇侃《论语义疏》亦略有不同，云：马融曰：“导者，谓为之政教也。司马法：‘六尺为步，步百为亩，亩百为夫，夫三为屋，屋三为井，井十为通，通十为城，城出革车一乘。’然而千乘之赋，其地千城也。居地方三百一十六里奇。” ([12]，pp.8-9)马融为东汉大儒，《后汉书》卷 60为马融列传，注《论语》亦失传。何晏引马融注。与包咸不同，马氏引“司马法”，由“六尺为步” 得出千乘之国方三百一十六里有畸，即316里多(之平方)。马融注实际隐含了一个数学问题，但他并没有给出具体的计算过程。本文将对此进行详尽的分析。何晏(约196-249)《论语集解》引包咸与马融的注疏，并云：“融依《周礼》，包依《王制》、《孟子》，义疑。故两存焉。”([10]，p.2457)但是，何氏将马融注列于前，实际已经有所倾向。按何氏所云，包咸注据《礼记·王制》、《孟子》，而马融注据《周礼》。由此，两人注解之差异实则反映出东汉经学的“官学的争立”(即清人所谓“今古文之争”)。[13] 更重要的是，此处马融以数学为工具解经，试图表明《周礼》与《论语》的相容性。汉末，经学章句繁多，令时人感到厌烦而无所适从。郑玄(127-200)博览群经，兼习众说，融合古今文说，完成经学的统一。([13]， pp.160-161)曾在马融门下的郑玄通《九章筭术》，其注经多引《九章》术语，例如其注《周礼》“㮚氏为量”引九章“粟米法”。[14] 郑玄又引郑众注给出了《周礼》的九数名目，即“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。今有重差、夕桀、句股也。”([14]，p.731)由此可见，马融、郑玄等以《九章筭术》等数学著作来注解儒家经典，融合统一古今文说，是当时的一种风气。因而，钱宝琮认为“《九章算术》和许慎《说文解字》相仿，是东汉初年儒学的一部分，与儒家的传统思想有密切关系。”[15] 然而，马郑等汉儒的解释往往隐含有数学问题，而又不给出计算细节，留给后人进一步发挥的空间。
二、儒家开方算法之兴起：皇侃义疏
何晏《论语集解》给出了“千乘之国”的注解倾向。梁皇侃(488-545)《论语义疏》虽同时注解包咸注与马融注，但皇氏将马融置于前，实际也有倾向。皇氏对马融注的详解开创了儒家开方算法。皇氏疏云：“有地方十里者千，即是千城也，则容千乘也。”皇氏的用语“方某某里”指以某某里为边长的正方形。这就是说，方十里(边长10里的正方形，相当于100平方里)为“一乘”，千乘为一千个一乘，即相当于100×1000=100000 平方里。由此可知，马融的计算为√10000=316里有奇，而皇疏则给出了具体算法，按文意分作两段分析：方百里者，有方十里者百。若方三百里，三三为九，则有方百里者九。合成方十里者九百也。是方三百里，唯有九百乘也。若作千乘，犹少百乘。百乘是方百里者一也。([12]， p.9)此段之中，皇侃指出方百里(即边长为100 里的正方形)等于100个方十里(即边长为10 里的正方形)，即100乘。方三百里则等于9个方百里，等于900个方十里，即900乘。千乘之国为900乘加上100乘，即方三百里加上方一百里，见图1。于是，问题便转化为如何把三百里之方与一百里之方合成一个更大的方形(即边长为316里多)。今取方百里者一，而六分破之。每分得广十六里，长百里。引而接之，则长六百里，其广十六里也。今半断，各长三百里。设法特埤前三百里西南二边，是方三百十六里也。然西南角犹缺方十六里者一。方十六里者一，有方十里者二，又方一里者五十六里也。是少方一里者二百五十六里也。然则向割方百里者为六分，埤方三百里两边，犹余方一里者四百。今以方一里者二百五十六埤西南角，犹余方一里者一百四十四。又设法破而埤三百十六里两边，则每边不复得半里。故云“方三百十六里有奇”也。([12]，pp.9-10)
皇侃继而将百里之方分作6份，每份为宽16 里、长100里的长方形，余宽4里、长100里的长方形，见图2。将6份首尾连结为一宽16里、长 600里的大长方形。把此大长方形一分为二，每部份为宽16里、长300里的中长方形。把这两个中长方形加在三百里之方的两边。这样形成一个缺一个角的边长为316里的大正方形。所缺角为 16里 ×16里的正方形，相当于2个方十里加上56 个方一里，总面积为256里。值得一提的是，此处皇侃用长度表示面积，这是中国古代常用的表示面积与体积的方法。即表示面积时，指一单位宽度的长方形，其长就是所给之长度;表示体积时，指一单位底面的长方体，其高就是所给之长度。王荣彬、李继闵最先对此有所讨论。[16] 杨涤非、邹大海近来发现军事活动中的另一种计量方式。[17] 笔者对此讨论也有所推进，指出其表示面积与体积时的单位宽度不固定，而取决于文本语境。([3]，pp.133-134)由此，原先百里之方剩余400平方里，取出256平方里填满大正方形所缺角，见图3。尚余下144平方里，试图再切割加在316里之方的两边，每边的长度都小于半里。因此马融说“三百一十六里有奇”。
总之，皇侃的开方算法相当于是先把1000乘(100000平方里)看作300里之方与100里之方的和，而后逐渐切割100里之方，使之加在300里方之上以构建更大的正方形。这一算法凭借图形操作而不用算筹，计算思路、几何解释都与《九章筭术》、《孙子筭经》等算书所载的筹算开方术不同。何晏作《论语集解》，皇侃《论语义疏》是集解再集解的作品，体现了六朝人解经的风气。([13]，p.191)魏晋以降，对《论语》“道千乘之国”马融注的再解释成为主流。前人论皇侃学术，多言受玄佛之影响。但此处却开儒家开方算法之先。皇侃疏实际违背了汉儒马融、郑玄等以传统数学解经的做法，展现了六朝经学的独特一面。晚清刘岳云(19世纪)《五经算术疏义》批评“皇侃不知算术，故周折如此”。[18] 但出人意料的是，这一做法由唐儒孔颖达对《礼记·投壶》、贾公彦对《周礼·考工记》的注疏中沿用发展，明确开方为把一长方形转化为正方形的图形操作，称为“方之”([4]，pp.3-25、[6]，pp.160-168)并继而经由宋儒邢昺、朱熹(1130-1200)等人发展，([8]， pp.167-182)一直延续至清代，形成了独特的儒家开方算法传统。
三、算家与儒家：六至十四世纪诸家之注解
北周时期，甄鸾(6世纪)撰《五经筭术》，以传统数学解释儒家经典，亦收入《论语》“道千乘之国”问题。唐初，李淳风(602-670)与算学博士梁述、太学助教王真儒等注释包含《五经筭术》的十部算经，并立于学官。《五经筭术》之中，此题为“《论语》千乘之国法”，其问云： “子曰：道千乘之国。”注云：“司马法：六尺为步，步百为亩，亩百为夫，夫三为屋，物三为井，井十为通，通十为成。成出革车一乘。然则千乘之赋，其地千成也。”今有千乘之国，其地千成，计积九十亿步。问为方几何?荅曰：三百一十六里六十八步之六万二千五百七十六。术曰：置积步为实，开方除之，即得。按：千乘之国，其地千成。方十里，置一成地十里，以三百步乘之，得三千步。重张相乘，得九百万步。又以千成乘之，得积九十亿步。以开方除之，即得方数也。开方法曰：借一筭为下法。步之，常超一位，至万而止。置上商九万于实之上。又置九亿于实之下，下法之上，名曰方法。命上商九万，以除实毕。倍方法九亿，得十八亿。乃折之，方法一折，下法再折，名曰隅法。方、隅皆命上商四千，以除实毕。倍隅法，得八百万，上纵方法，得一亿八千八百万。乃折之，方法一折，下法再折。又置上商八百于上，以次前商之后，以除实毕。倍隅法，得十六万，上纵方法，得一千八百九十六万。乃折之，方法一折，下法再折。又置上商六十于上，以次前商之后。又置六百于方法之下，下法之商，名曰隅法。方、隅皆命上商六十，以除实毕。倍隅法，得一百千二百，上纵方法，得一百八十九万七千二百。乃折之，方法一折，下法再折。又置上商八于上，以次前商之后。又置八于方法之下，下法之上，名曰隅法。方、隅皆命上商八，以除实毕。倍隅法得一十六，上纵方法。下法一亦纵之，得一十八万九千七百三十七分 步 之 六 万 二 千 五 百 七 十 六。 以 里 法三 百 步 除 之， 得 三 百 一 十 六 里， 不 尽六 十 八 步。 即 得 方 三 百 一 十 六 里 六 十 八步一十八万九千七百三十七分步之六万二千五百七十六。[19]
晚清刘岳云认为：“自‘今有千乘之国’至‘开方除之即得’当是李淳风注误入正文。按上脱‘甄鸾’二字。”([18]，p.18b)即认为上段的问、答、术都是李淳风等的注释，而其他部分则是甄鸾所撰。今传本《五经筭术》中李淳风等往往补充问题、答案和术文。李氏等也说“此《五经算》一部之中多无设问及术，直据本条，略陈大数而已。今并加正术及问，仍与旧数相符。其有汎说事由，不须术者，并依旧不加。”([19]，p.376)因此，刘岳云的看法很可能符合实际。事实上，这种误置甄鸾按与李淳风等注释的情况也出现在《五经筭术》的另一问中。([7]，pp.118-120)甄鸾按照1里 =300步的关系，把一乘(亦即一成)方十里(边长为10里的正方形)转化成方三千步(边长为3000步的正方形)，面积则为九百万平方步。千乘之国则是九百万乘以1000，得到九十亿平方步。由此，甄鸾把原先√10000转化成√9000000000。甄氏由筹算开方术得：[20] 李淳风等注释按照数学著作的格式重构此问，提出“置积步为实，开方除之”的算法，继承了甄鸾的算法。由此可见，甄、李等人并未理会皇侃的算法，而径施之以筹算开方术。这在甄氏扩展数学应用的范围，李氏等注释十部算经的背景下是可以理解的。北宋邢昺注 疏《 论 语 》， 基 本 沿 用 了 皇 侃的算法，而未理会甄、李等人的算法。皇侃云： “ 方 十 六 里 者 一， 有 方 十 里 者 二， 又 方 一 里 者五十六里也。是少方一里者二百五十六里也。”即 1×162 =2×102 +56×12 。邢昺则直接说：“方十六里者一，为方一里者二百五十六。”这是他对皇侃算法的最大改动。邢氏说：“开方之法，方百里者一为方十里者百。”([10]，p.2457)可见，其理解的开方并非筹算开方术，而是与单位面积间的换算有关。
南宋朱熹撰《四书章句集注》，其中《论语集注》并未收入邢昺等人算法。有人问：“因说“千乘之国” 疏云，方三百一十六里，有畸零，算不彻。朱子回答： “此等只要理会过，识得古人制度大意。如至细微，亦不必大段费力也。”[21] 显然，朱熹并不完全认可儒家传统的开方术，尽管其在晚年编撰的《仪礼经传通解》中对此实际有所发展。([8]，pp.167- 182)元代许谦(1270-1337)《读论语丛说》谈到此问云：“所谓‘方三百十六里有畸者’，先直排三十成作一行，便是直三百里、横阔十里知。以如此之行横排三十行，便是方三百里，共计九百成。尚有一百成，却分为万井。于每行上添十六里，则东南两面共添六百个十六井，共计九千六百井。要取方，又于东南上有缺。却又用将方十六井去补教方，该二百五十六井。[十六令十六，计二百五十六]以一万井除去九千八百五十六井外，尚余一百四十四井。难以分为方。故曰‘有畸’。[若分开计一千二百九十六夫，亦分不开]”①[22] 按1 井 =1平方里、1夫 =3井、千乘 =10000井，许谦构造出方316里为9856井，与千乘差144井，逆向解释了千乘之国为三百一十六里有畸。
甄鸾、李淳风等试图将传统数学应用于儒家经典，恢复汉儒的理想做法，重建数学与儒学的紧密联系。从孔颖达、贾公彦等人的注疏看，这一努力未获成功。自此之后，儒家与算家的计算文化传统存在着明显分野。尽管隋唐以后算学立于学官，《九章筭术》、《五经筭术》等都是法定的数学教科书，北宋元丰七年(1084)秘书省刊刻了十部算经，大观三年(1109)颁布了“算学祀典”，贾宪(11世纪)开创了筹算的增乘开方法与立成释锁开方法，但是邢昺、朱熹、许谦等人的讨论却完全不涉及筹算开方术。这一方面这可能是因为他们不熟悉传统筹算数学，另一方面则反映出由于儒学的强势，宋代儒家自身的算法传统具有与算学分庭抗礼的强大生命力。
四、遗忘与统一：清代学者之探讨
明代以降，对《论语》“道千乘之国”开方问题的探讨沿着注疏《论语》与《五经筭术》两条路线演进，显示出儒家与算家的两种计算文化传统的持续存在。乾隆年间，编撰《四库全书》，戴震(1724-1777)从《永乐大典》辑出十部算经。他认为“是书不特为算家所不废，实足以发明经史，覈订疑义，于考证之学尤为有功焉。”[23] 给予《五经筭术》及甄鸾、李淳风等以正面的评价。但是之后，刘宝楠(1791-1855)《论语正义》“道千乘之国”却仍旧采皇侃之算法，[24] 延续了儒家的传统。此情况至晚清有所改变。潘维城(19世纪)《论语古注集笺》认为此题“开方之法，不可不讲。” 先云：“邢疏以中方三百方为方百里者，三三而九，则为方百里者九。又以方百里为六分埤西南两边，长阔者皆三百一十六，余边墙一百四十四里，不尽开也。”又云：“算术千乘之国，地千成方十里。置一成地十里以里三百步乘之，得三千步。重张相乘，得九万步。又以千成乘之，得积九十亿步。以开方除之，得数。以里三百步为法，除之，得三百一十六里不尽六十八步歙。”[25] 由此可知，潘氏同时采纳了邢昺与甄鸾的注疏，并以“算术” 称呼后者。
刘岳云在《五经算术疏义》中认为“此《论语集解》引马融说也。以百亩乘百步，得一万步。夫三乘之，得三万步。屋三乘之，得九万步。井十乘之，得九十万步。通十乘之，得九百万步。是一成之地，积九百万步。故知千成之地当积九十万万步也。有积求边合用开方除。故开方而得步数矣。”([18]，19a-19b)即先沿用了甄鸾对此问的解释。然后，却引皇侃疏算法。继云：“皇侃不知算术，故周折如此。邢昺盗取皇侃疏，而不知采用甄说，疏矣。”对皇侃、邢昺等人的算法给予了较低的评价。实际上，刘氏认为“是书演算详明，于经义甚有裨益。唐时既立官学，而孔颖达作《正义》不采甄说，殊不可解。”可见，其对《五经筭术》评价颇高，而不能理解儒家计算文化传统存在的理由。《论语》“道千乘之国”讲述的是周代的封国制度。后世对之的探讨皆为纯粹的文本探讨。包咸注给出“千乘之国，方百里”，马融注则给出“千乘之国，三百一十六里有畸”，与之不同而未述算法。马融、郑玄等汉儒以数学解经实际是欲融合统一古今文之说。何晏《论语集解》将马注列于包注之前，实际已有选择之倾向。皇侃疏马注，不以《九章筭术》筹算开方术解之，而给出图形算法，由此开创儒家开方算法之传统。继之，甄鸾《五经筭术》以算家的筹算开方术释之，唐李淳风等则将是书立于学官，试图统一算法，却未成功。之后，两种开方术与计算文化传统各自独立演进。儒家开方传统经由孔颖达、贾公彦、邢昺、朱熹、许谦直到清代刘宝楠等学者的持续论述而延绵不绝;算家开方术则至贾宪、秦九韶(1208- 1261)、李冶(1192-1279)、朱世杰(14世纪)发展为高深的解高次方程数值理论，清中叶戴震等又整理、恢复古算。
晚清以降，受到西学的冲击，数学的专业性与独立性获得了前所未有的承认。因之，潘维城《论语古注集笺》将甄鸾算法纳入，而刘岳云《五经算术疏义》不仅高评价了《五经筭术》，而且已经逐渐不能理解儒家传统。自此之后，算家对“道千乘之国”的数学解释逐渐被接受，而儒家的传统算法则逐渐被遗忘，开方算法终获再次统一。钱宝琮认为“甄鸾的《五经算术》……对于后世研究经学的人是有帮助的。但有些解释不免穿凿附会，对于经义是否真有裨益是可以怀疑的。”[26] 部分延续了刘岳云的看法，却也不晓儒家算法。而研究儒学及《论语》者则全然不涉皇侃、邢斌等人注疏之算法。就此而言，对儒家开方算法的探讨为我们提供了独特的视角以呈现：在漫长的时期内，儒家计算文化传统起源、发展终至消亡，而又与算家传统互动关联演进的历史画卷。
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