摘要 摘 要: 利用一些差分方程振动性的已有结论，建立了一类非线性四阶差分方程解的振动性的一些充分条件。文中定理对已有结果进行了改进。 关键词: 最终正解;差分方程;振动性 关于非
摘 要: 利用一些差分方程振动性的已有结论，建立了一类非线性四阶差分方程解的振动性的一些充分条件。文中定理对已有结果进行了改进。
关键词: 最终正解;差分方程;振动性
关于非线性四阶差分方程的研究现在已有许多重要结果。考虑的非线性四阶差分方程为 Δ2æ è ç ö ø ÷ 1 α(k) (Δ2 x(k)) α = q(k) f (x[g(k)])+ p(k)h(x[σ(k)]) + m(k)l(x[n(k)]), (1)其 中 k ∈ N0 ={n0,n0 + 1,⋯}, n0 是 一 个 非 负 整数。 Δ 是差分算子。此方程的振动性在文献[1]中已经做过讨论，且给出了一个相关定理，对其结论进行了改进。对于方程(1)，规定： 1)α 是一个正有理数; 2){α(k)}, {q(k)}, {p(k)}, {m(k)}是正序列; 3){g(k)}, {σ(k)}, {n(k)} 是非增实常数序列，对于任意的 k ∈ n0, g(k)< k, σ(k)> k 且 limk → ∞ g(k)=∞ ; 4)f, h, l: c(R, R) ：满足 xf (x)> 0, f′(x) 0, xh(x)> 0, h′(x) 0(x ≠ 0) 。方程(1)的解是指对于所有充分大的 k n0 ∈ N0 满足 (1)的序列{x(k)} 。(1) 的解{x(k)} 是非振动的，若 x 是最终为正或最终为负的，否则称 x 是振动的。定理1 若对于方程(1)，满足下列条件： ∑ ∞ a 1 α ( j)=∞， (2)对于任意 xy > 0 都有： -f (-xy) f (xy) f (x) f (y)， (3) -h(-xy) h(xy) h(x)h(y)， (4) -l(-xy) l(xy) l(x)l(y)， (5)若以下方程 Δ2 y(k)- p(k)⋅ h æ è ç ö ø c ÷ é ë ê ù û σ(k), ú k + σ(k) 2 ⋅ h æ è ç ö ø y ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + σ(k) 2 = 0 (6)的所有无界解 Δ2 z(k)- q(k) f (c[g(k),n0])⋅ f æ è ö ø z 1 α [g(k)] = 0, (7) Δ2 w(k)- m(k)l æ è ç ö ø C ÷ é ë ê ù û ú k + n(k) 2 ,n(k) ⋅ l æ è ç ö ø w ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + n(k) 2 = 0 (8)的所有有界解是振动的，则(1)是振动的。
证明 令 {x(k)} 为(1)的最终正解，如文献[1]中定理1所证。需讨论以下三种情形 a,b,c 情形 a ：假设 Lix(k)> 0,i = 1,2,3。k n0 ∈ N0 。则对于 l m + 1 n0 ，有 L1 x(l)- L1 x(m)=∑ j = m l - 1 a 1 α ( j)L2 1 α x( j) 或 Δx(l)= L1 x(l) æ è ç ö ø ∑ ÷ j = m l - 1 a 1 α ( j) L2 1 α x(m)。上述不等式从 m 到 k - 1两边相加，有 x(k) c[k,m] L2 1 α x(m),k m + 1 n0。 (9)令 y(k)= L2(x) ，用 σ(k),(k + σ(k))/2 代替 k,m ，有 x[σ(k)] Cé ë ê ù û σ(k), ú k + σ(k) 2 y 1 α é ë ê ù û ú k + σ(k) 2 ,k n0, (10) 在(1)中应用(4)(9)。可知 Δ2 y(k) p(k)(h)(x[σ(k)]) p(k)h æ è ç ö ø C ÷ é ë ê ù û σ(k), ú k + σ(k) 2 h æ è ç ö ø y ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + σ(k) 2 ,
则可知(7)有一个最终正解。情形b：假设 Lix(k)> 0，i = 1,2 。 L3 x(k)< 0,k n0 , 则对于 k m - 1 n0 ，有 Δx(l)= L1 x(l) æ è ç ö ø ∑ ÷ j = m l - 1 a 1 α ( j) L1/α 2 x(l), (11) 上述不等式两边从 n0 到 k - 1 相加，有 xk C[k,n0]L2 1 α x(k)。 (12) 令 z(k)= L2 x(k) ，用 g(k) 代替 k ，有 x[g(k)] C[g(k),n0]z 1 α [g(k)], k n0 + 1 (13) 在 (1)中应用(3) , (13)，有 Δ2 z(k) q(k) f (x[g(k)]) q(k) f æ è ç ö ø C[g(k),n ] ÷ 0 f æ è ö ø z 1 α [g(k)] , 通过文献[2]中的一个结论，易知 有一个最终正解。情形 c：假设 L1 x(k)< 0,L2 x(k)> 0,L3 x(k)< 0,k n0。如 b 可知(9), 不等式(11)两边从 m 到 k - 1 m n0 相加，有 x(m) C[k,m]L2 1 α x(k), (14) 令 w(k)= L2 x(k) 。用 (k + n(k))/2 和 n(k) 代替 k,m。由(2)知： x[n(k)] Cé ë ê ù û ú k + n(k) 2 ,n(k) ⋅w 1 α é ë ê ù û ú k + n(k) 2 。 (15) 方程(1)中应用(3)，(15)，有 Δ2 w(k) m(k)l(x[n(k)]) m(k)l æ è ç ö ø C ÷ é ë ê ù û ú k + n(k) 2 l æ è ç ö ø w ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + n(k) 2 , 剩余的部分类似于 b ，因此省略，结论成立。定理2 条件(2)~(4)成立。若以下差分方程 Δy(k)- p(k)h æ è ç ö ø A ÷ é ë ê ù û σ(k), ú k + σ(k) 2 h æ è ç ö ø y ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + σ(k) 2 = 0， (16) Δz(k)+ q(k) f (B[g(k),n0]) f æ è ö ø z 1 α [g(k)] = 0,k n0 0， (17) Δw(k)+ m(k)l æ è ç ö ø C ÷ é ë ê ù û ú k + n(k) 2 ,n(k) l æ è ç ö ø w ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + n(k) 2 = 0 (18) 的所有有界解是振动的，则(1)是振动的。
证明 若 {x(k)} 是(1)的最终正解。须讨论三种情形 a,b,c ：情形 a ：若 L1 x(k)> 0，i = 1,2,3。k n0 ∈ N0，则文献[1]中公式(15)成立。用 σ(k),(k + σ(k))/2, 代替 k,m。有 x[σ(k)] Aé ë ê ù û σ(k), ú k + σ(k) 2 y 1 α é ë ê ù û ú k + σ(k) 2 , k - 1 n1 n0 (19) 在方程(1)中应用准备知识中条件3，以及(19)。有 Δy(k) p(k)h(x[σ(k)]) p(k)h æ è ç ö ø A ÷ é ë ê ù û σ(k), ú k + σ(k) 2 h æ è ç ö ø y ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + σ(k) 2 (20) 其中 k n1 n0。易知(13)有一个最终正解。情形b：若 Lix(k)> 0，i = 1,2 。 L3 x(k)< 0, k n0 ∈ N0 。则由成立。令 j = k,-L3 x( j)= z( j) 。由(20)有 x[g(k)] f (B[g(k),n0]) f æ è ö ø z 1 α [g(k)] , k n1 n0，(21) 在(21)中应用(3)可知 -Δz(k) q(k) f (x[g(k)]) q(k) f æ è ç ö ø C[g(k),n ] ÷ 0 f æ è ö ø z 1 α [g(k)] 或 Δz(k)+ q(k) f (C[g(k),n0]) f æ è ö ø z 1 α [g(k)] 0,k n1, 则 (16)有一个最终正解。情形 c ：若 L1 x(k)< 0,L2 x(k)> 0,L3 x(k)< 0,k n0 ∈ N0。令 w(k)= -L3 x(k), 用 (k + n(k))/2 和 n(k) 代替 k,m。知 x[n(k)] Cé ë ê ù û ú k + n(k) 2 , n(k) w 1 α é ë ê ù û ú k + n(k) 2 , k n1 n0, 在方程(1)中应用准备知识中条件2与上述不等式，有 -Δw(k) m(k)l(x[n(k)]) m(k)l æ è ç ö ø C ÷ é ë ê ù û ú k + n(k) 2 ,n(k) f æ è ç ö ø w ÷ 1 α é ë ê ù û ú k + n(k) 2 ,k n。剩余步骤类似于, 结论得证。
参考文献
[1]高姗. 一类非线性差分方程的振动性 [J]. 山西大同大学学报(自然科学版)，2016, 32(2): 25 - 26.
[2]LI W T. Oscillation of certain second-order nonlinear differential equations [J]. J Math Anal Appl, 1998，217: 1 - 14
[3]WONG J S W. On the Generalized Emden -Fow ler Equation [J]. SIAM Review, 1975, 17(2): 339 - 360 .
[4]陈绍著. 二阶线性差分方程解的渐近线性 [J]. 数学学报, 1992, 35(3): 396 - 406
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